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Combinatoria E Probabilità

Combinatoria e calcolo delle probabilità sono spesso considerate tra le parti più affascinanti della matematica olimpica.
Uno dei motivi è che non richiedono grandi conoscenze pregresse: molti problemi si possono iniziare ad affrontare semplicemente ragionando.

Naturalmente, quando i problemi diventano più complessi, è utile conoscere alcune tecniche e strumenti tipici.
Con il tempo si impara a riconoscere strutture ricorrenti e strategie di conteggio sempre più efficaci.

Di seguito trovi alcuni degli argomenti più importanti da conoscere.

Argomenti fondamentali

  • Conteggio
  • Permutazioni e combinazioni
  • Probabilità

Fattoriali

Il fattoriale di un numero naturale $n$, indicato con $n!$, rappresenta il prodotto di tutti i numeri interi positivi da 1 a $n$.
Compare frequentemente nei problemi di conteggio e nelle formule di permutazione e combinazione.

Come conteggiare

Molti problemi combinatori si riducono a contare in modo corretto gli oggetti possibili.
Imparare a organizzare il conteggio, evitare doppioni e suddividere i casi è una delle abilità più importanti nella combinatoria.

Coefficienti binomiali

I coefficienti binomiali

$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

indicano il numero di modi in cui è possibile scegliere $k$ elementi da un insieme di $n$ elementi.
Compaiono in moltissimi problemi di conteggio e sono collegati allo sviluppo del binomio di Newton.

Permutazioni

Le permutazioni contano i modi possibili di ordinare tutti gli elementi di un insieme.
Ad esempio, il numero di modi di ordinare $n$ oggetti distinti è $n!$.

Permutazioni circolari

Quando l’ordine è disposto su un cerchio, alcune permutazioni diventano equivalenti perché possono essere ottenute ruotando la configurazione.

Anagrammi

Gli anagrammi sono permutazioni delle lettere di una parola.
Diventano particolarmente interessanti quando alcune lettere sono ripetute, perché bisogna evitare di contare configurazioni uguali.

Disposizioni

Le disposizioni contano i modi di scegliere e ordinare alcuni elementi di un insieme.
Possono essere:

  • semplici, se gli elementi non si ripetono
  • con ripetizione, se è possibile usare più volte lo stesso elemento

Combinazioni

Le combinazioni contano i modi di scegliere elementi senza considerare l’ordine (a differenza delle disposizioni).

Possono essere:

  • semplici
  • con ripetizione

Sono tra gli strumenti più utilizzati nella combinatoria.

Spazio degli eventi

Quando si studia un fenomeno casuale, si definisce lo spazio degli eventi possibili.
La probabilità di un evento viene spesso calcolata come

$$ \frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}} $$

quando tutti i risultati sono equiprobabili.

Tipi di eventi

Negli esercizi è importante riconoscere il tipo di relazione tra eventi:

  • eventi disgiunti
  • eventi indipendenti
  • eventi dipendenti

Questo permette di applicare correttamente le regole del calcolo delle probabilità.

Probabilità condizionata

La probabilità condizionata misura la probabilità che un evento avvenga sapendo che un altro evento è già avvenuto.

Teorema di Bayes

Il teorema di Bayes permette di aggiornare una probabilità alla luce di nuove informazioni ed è uno strumento fondamentale in molte applicazioni moderne.

Da dove iniziare a prepararsi

I prerequisiti del calcolo combinatorio (fattoriali, permutazioni, combinazioni, disposizioni, anagrammi…) e del calcolo delle probabilità basato sul conteggio dei casi favorevoli si trovano normalmente nei manuali di matematica dei licei scientifici del quarto anno.

Tuttavia non è necessario partire da un libro scolastico. Qui sotto trovi alcune risorse particolarmente utili.

Corso online consigliato

Un ottimo punto di partenza è il corso online del prof. Emanuele Callegari (Università di Roma Tor Vergata).
Ti consigliamo in particolare di iniziare dalle lezioni 1, 2 e 3.

🎬 https://www.problemisvolti.it/CorsoBaseOlimpiadiMatematica.html

Ulteriori informazioni le puoi trovare alla pagina dedicata qui.

Dispensa di approfondimento ed esercizi

Segnaliamo anche la dispensa di Combinatoria molto completa del prof. Luciano Mezzini, docente emerito di matematica presso il Liceo Scientifico “Leonardo da Vinci” di Treviso e coach delle squadre del liceo che hanno vinto il titolo italiano nelle gare a squadre nel 2009 e nel 2011.

📑 Calcolo Combinatorio (Mezzini)

Libri consigliati

Per approfondire ulteriormente, sono molto utili alcuni volumi della collana U Math:

Nella sezione Risorse del sito puoi trovare ulteriori informazioni sulla collana U Math e su altri materiali utili per l’allenamento.