Alcuni strumenti matematici compaiono frequentemente nei problemi olimpici ma non appartengono a una singola area come algebra, geometria o teoria dei numeri.
Si tratta spesso di tecniche di dimostrazione, idee combinatorie generali o piccoli risultati teorici che possono essere applicati in contesti molto diversi tra loro.
Di seguito trovi alcuni degli argomenti più importanti.
Argomenti fondamentali
- Tecniche di dimostrazione
- Strumenti combinatori
- Altri strumenti utili
Dimostrazione per induzione
La dimostrazione per induzione è una tecnica molto utilizzata per dimostrare proprietà che dipendono da un numero naturale $n$.
Il metodo consiste in due passi:
- verificare la proprietà per un valore iniziale
- dimostrare che, se vale per $n$, allora vale anche per $n+1$
Questo permette di concludere che la proprietà vale per tutti i valori successivi.
Discesa infinita
La discesa infinita, introdotta da Fermat, è una tecnica di dimostrazione per assurdo.
L’idea è mostrare che da una soluzione di un problema se ne può costruire una più piccola, e poi un’altra ancora più piccola, e così via.
Questo porta a una contraddizione, perché nei numeri naturali non esiste una sequenza infinita strettamente decrescente.
Vieta jumping
Il Vieta jumping è una tecnica utilizzata soprattutto nei problemi di teoria dei numeri con equazioni quadratiche in due variabili intere.
Si basa sull’osservazione che, se esiste una soluzione dell’equazione, spesso è possibile costruirne un’altra più piccola utilizzando le relazioni tra le radici.
Principio dei cassetti
Il principio dei cassetti (o pigeonhole principle) afferma che se si distribuiscono più oggetti che contenitori, allora almeno un contenitore deve contenere più di un oggetto.
Nonostante la sua semplicità, questo principio permette di dimostrare risultati molto sorprendenti.
Colorazioni
Molti problemi olimpici utilizzano colorazioni di oggetti (punti, vertici, celle di una griglia…) per studiare configurazioni possibili o impossibili.
Le colorazioni sono spesso utilizzate insieme ad argomenti combinatori o alla teoria dei grafi.
Elementi di teoria dei grafi
La teoria dei grafi studia strutture formate da vertici collegati da archi.
Anche pochi concetti di base (come cammini, cicli o grafi completi) possono essere molto utili per modellizzare e risolvere problemi olimpici.
Teorema di Pick
Il teorema di Pick riguarda i poligoni con vertici su punti a coordinate intere del piano.
Permette di calcolare l’area del poligono tramite una semplice formula che coinvolge:
- il numero di punti interi interni
- il numero di punti interi sul bordo
Geometria solida
Anche se compare meno frequentemente rispetto alla geometria piana, la geometria solida può comparire in alcune gare olimpiche.
Gli strumenti principali riguardano:
- volumi e superfici dei solidi
- sezioni piane
- relazioni tra segmenti e angoli nello spazio
Da dove iniziare a prepararsi
Molti degli argomenti di questa sezione non fanno parte dei programmi scolastici standard, ma compaiono molto spesso nelle gare di matematica.
A differenza di altre aree (come algebra o teoria dei numeri), non esiste un ordine preciso con cui affrontarli: si tratta di tecniche e idee che vengono utilizzate in molti contesti diversi.
Tip
Per questo motivo è utile conoscerne il maggior numero possibile e imparare a riconoscere quando possono essere applicate in un problema.
Tecniche dimostrative
Per le tecniche di dimostrazione segnaliamo il volume della collana U Math:
- Tecniche dimostrative ▸ Samuele Maschio
ISBN: 978-88-96973-75-2
https://scienzaexpress.it/catalogo/tecniche-dimostrative/
Principio dei cassetti
Per il principio dei cassetti, un articolo molto interessante e che consigliamo è il seguente:
Matematica discreta
Per teoria dei grafi e problemi di colorazione segnaliamo il volume:
- Matematica discreta ▸ Antonio Veredice, Lorenzo Massa
ISBN: 979-12-800-6877-4
https://scienzaexpress.it/catalogo/matematica-discreta/
Geometria solida
Per approfondire la geometria nello spazio:
- Geometria solida per le gare di matematica ▸ Carlo Càssola
ISBN: 978-88-96973-74-5
https://scienzaexpress.it/catalogo/geometria-solida-per-le-gare-di-matematica/
Nella sezione Risorse del sito puoi trovare ulteriori informazioni sulla collana U Math e su altri materiali utili per l’allenamento.