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Teoria Dei Numeri

Teoria dei numeri è una delle aree più classiche della matematica olimpica.
Si occupa principalmente di proprietà degli interi, dei numeri primi e delle relazioni aritmetiche tra numeri.

A differenza della combinatoria, molti problemi di teoria dei numeri richiedono alcune tecniche specifiche.
Una volta appresi gli strumenti fondamentali, però, diventa possibile affrontare problemi molto diversi tra loro utilizzando idee comuni come divisibilità, congruenze e fattorizzazioni.

Molti risultati di teoria dei numeri sono anche alla base di applicazioni moderne, ad esempio nei sistemi crittografici utilizzati nella sicurezza informatica.

Di seguito trovi alcuni degli argomenti più importanti da conoscere.

Argomenti fondamentali

  • Divisibilità
  • Congruenze
  • Teoremi e applicazioni

Numeri primi e fattorizzazione

Un numero primo è un numero intero maggiore di 1 che ha come divisori solo 1 e sé stesso.

Ogni numero naturale può essere scritto in modo unico (a meno dell’ordine dei fattori) come prodotto di numeri primi: questa proprietà è nota come teorema fondamentale dell’aritmetica.

La fattorizzazione in primi è uno degli strumenti più utilizzati nei problemi di teoria dei numeri.

Massimo comune divisore e minimo comune multiplo

Il massimo comune divisore (MCD) di due numeri è il più grande intero che li divide entrambi.
Il minimo comune multiplo (mcm) è invece il più piccolo numero positivo che è multiplo di entrambi.

Spesso si calcolano utilizzando l’algoritmo di Euclide, una procedura molto efficiente basata sulla divisione con resto.

Identità di Bézout

Per due interi $a$ e $b$ esistono sempre interi $x$ e $y$ tali che

$$ ax + by = \gcd(a,b) $$

Questa relazione è nota come identità di Bézout ed è fondamentale nello studio delle equazioni diofantee e delle congruenze.

Aritmetica modulare

Due interi $a$ e $b$ sono congruenti modulo $n$ se hanno lo stesso resto nella divisione per $n$.

Si scrive

$$ a \equiv b \pmod{n} $$

L’aritmetica modulare permette di lavorare con i resti delle divisioni e semplifica molti problemi aritmetici.

Classi di congruenza

Gli interi si suddividono in classi di congruenza modulo $n$, ciascuna rappresentata da uno dei resti possibili.

Questo punto di vista è molto utile per studiare proprietà dei numeri e per risolvere equazioni modulari.

Congruenze lineari

Una congruenza lineare ha la forma

$$ ax \equiv b \pmod{n} $$

La sua risoluzione dipende dal rapporto tra $a$, $b$ e $n$, in particolare dal massimo comune divisore tra $a$ e $n$.

Piccolo teorema di Fermat

Se $p$ è un numero primo e $a$ non è multiplo di $p$, allora

$$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $$

Questo risultato è uno degli strumenti più utilizzati nei problemi olimpici che coinvolgono potenze modulo un numero primo.

Funzione di Eulero

La funzione di Eulero $\varphi(n)$ conta quanti numeri tra $1$ e $n$ sono coprimi con $n$.

Ha una proprietà molto importante: è moltiplicativa, cioè se $a$ e $b$ sono coprimi allora

$$ \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b) $$

Da questa funzione deriva il teorema di Eulero, una generalizzazione del piccolo teorema di Fermat.

Sistemi di congruenze

In alcuni problemi bisogna risolvere più congruenze contemporaneamente.
Il risultato fondamentale in questo contesto è il teorema cinese del resto, che permette di trovare soluzioni quando i moduli sono coprimi.

Equazioni diofantee

Le equazioni diofantee sono equazioni che richiedono soluzioni intere.

Il caso più semplice è quello lineare:

$$ ax + by = c $$

che può essere risolto utilizzando l’algoritmo di Euclide o l’identità di Bézout.

Da dove iniziare a prepararsi

La teoria dei numeri non compare in modo esteso nei programmi scolastici.
Alcuni argomenti di base (come fattorizzazione, MCD e mcm) vengono trattati nei manuali di matematica, ma la maggior parte delle tecniche olimpiche richiede materiali specifici.

Qui sotto trovi alcune risorse particolarmente utili che consigliamo di seguire in ordine.

1. Corso online del prof. Callegari

Un ottimo punto di partenza è il corso online del prof. Emanuele Callegari (Università di Roma Tor Vergata).
Per la teoria dei numeri ti consigliamo in particolare di iniziare dalle lezioni 4, 5, 6 e 7.

🎬 https://www.problemisvolti.it/CorsoBaseOlimpiadiMatematica.html

Ulteriori informazioni le puoi trovare alla pagina dedicata qui.

2. Dispense della prof.ssa Archetti

Dopo aver visto le lezioni introduttive del corso di Callegari, puoi approfondire con alcune dispense utilizzate negli Stage Olimpici Territoriali di Treviso, preparate dalla prof.ssa Maria Archetti.

Le dispense coprono diversi argomenti importanti della teoria dei numeri olimpica. Puoi trovare tutti i materiali nella pagina dedicata:

📄 Materiale della prof.ssa Archetti

Libri consigliati

Per approfondire ulteriormente, sono molto utili alcuni volumi della collana U Math:

Nella sezione Risorse del sito puoi trovare ulteriori informazioni sulla collana U Math e su altri materiali utili per l’allenamento.

Altri testi consigliati: